Método de distribución de momentos

El Método de Distribución de Momentos (no confundir con redistribución de momentos) o método de Cross es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos, desarrollado por Hardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método sólo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de distribución de momentos fue el más ampliamente usado en la práctica.

En el método de distribución de momentos, cada articulación de la estructura a ser analizada, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada articulación fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el Equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración.

El método de distribución de momentos cae dentro de la categoría del Método de Desplazamiento de análisis estructural.

Implementación

En disposición de aplicar el método de distribución de momentos para analizar una estructura, lo siguiente debe ser considerado.

Momentos de empotramiento en extremos fijos

Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.

Rigidez a la Flexión

La Rigidez a la Flexión (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Módulo de Elasticidad (E) y el Segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros.

Factores de Distribución

Los factores de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de los miembros.

Factores de Acarreo (Transporte)

Los momentos no balanceados, son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo.

Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la [convención de signos] usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo antihorarios.

Estructuras de Marcos

Estructuras de marcos con o sin sidesway pueden ser analizadas utilizando el método de distribución de momentos.

Ejemplo:

La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura sera analizada.

* Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud L = 10 \ m .
* Las rigideces a Flexion son EI, 2EI, EI respectivamente.
* Cargas concentradas de magnitud udl = 10 \ kN actúan a una distancia a = 3 \ m desde el soporte A.
* Carga uniforme de intensidad q = 1 \ kN/m actúa en BC.
* Miembro CD está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud P = 10 \ kN .

En los siguientes cálculos, los momentos antihorarios son positivos.

Momentos en Extremos Fijos [editar]

M _{AB} ^f = \frac{Pb^2a }{L^2} = \frac{10 \times 7^2 \times 3}{10^2} = - 14.700 \ kN\cdot m
M _{BA} ^f = - \frac{Pa^2b}{L^2} = - \frac{10 \times 3^2 \times 7}{10^2} = + 6.300 \ kN\cdot m
M _{BC} ^f = \frac{qL^2}{12} = \frac{1 \times 10^2}{12} = - 8.333 \ kN\cdot m
M _{CB} ^f = - \frac{qL^2}{12} = - \frac{1 \times 10^2}{12} = + 8.333 \ kN\cdot m
M _{CD} ^f = \frac{PL}{8} = \frac{10 \times 10}{8} = - 12.500 \ kN\cdot m
M _{DC} ^f = - \frac{PL}{8} = - \frac{10 \times 10}{8} = + 12.500 \ kN\cdot m

Factores de Distribución [editar]

D_{BA} = \frac{\frac{3EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{4\times 2EI}{L}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{8}{10}} = 0.2727
D_{BC} = \frac{\frac{4\times 2EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{4\times 2EI}{L}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{8}{10}} = 0.7273
D_{CB} = \frac{\frac{4\times 2EI}{L}}{\frac{4\times 2EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{8}{10}+\frac{4}{10}} = 0.6667
D_{CD} = \frac{\frac{4EI}{L}}{\frac{4\times 2EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{8}{10}+\frac{4}{10}} = 0.3333

Los factores de distribución de las juntas A y D son DAB = DDC = 1.
Factores de Acarreo (Transporte) [editar]

Los factores de acarreo son \frac{1}{2} , excepto para el factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.
Distribución de Momentos [editar]
MomentDistributionMethod2.jpg
Articulación A Articulación B Articulación C Articulación D
Factores de Distribución 0 1 0.2727 0.7273 0.6667 0.3333 0 0
Momentos en Extremos Fijos 14.700 -6.300 8.333 -8.333 12.500 -12.500
Paso 1 -14.700 → -7.350
Paso 2 1.450 3.867 → 1.934
Paso 3 -2.034 ← -4.067 -2.034 → -1.017
Paso 4 0.555 1.479 → 0.739
Paso 5 -0.246 ← -0.493 -0.246 → -0.123
Paso 6 0.067 0.179 → 0.090
Paso 7 -0.030 ← -0.060 -0.030 → -0.015
Paso 8 0.008 0.022 → 0.011
Paso 9 -0.004 ← -0.007 -0.004 → -0.002
Paso 10 0.001 0.003
Suma de Momentos 0 -11.569 11.569 -10.186 10.186 -13.657

Números en gris son momentos balanceados; flechas ( → / ← ) representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.
Resultados [editar]

* Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de momentos.

M_A = 0 \ kN \cdot m
M_B = -11.569 \ kN \cdot m
M_C = -10.186 \ kN \cdot m
M_D = -13.657 \ kN \cdot m
La convención de signos usual en ingeniería es usada aquí, i.e. Los momentos positivos causan elongación en la parte inferior de un elemento de viga.

Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados, usando un Método de Matriz. Nota que en el análisis superior, el proceso iterativo fue llevado a >0.01 de precisión. El echo de que el resultado de análisis de matriz y el resultado de análisis de distribución de momentos iguale a 0.001 de precisión es mera coincidencia.

* Momentos en articulaciones determinados por el método de matriz

M_A = 0 \ kN \cdot m
M_B = -11.569 \ kN \cdot m
M_C = -10.186 \ kN \cdot m
M_D = -13.657 \ kN \cdot m

Los diagramas completos de cortante y momento flextor son como sigue. Nota que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las juntas. Desarrollando diagramas de momentos flextores completos requiere de cálculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio interno de la sección.

* DFC y DMF